Hallo, das nächste Thema sind die sogenannten Mittelwertsätze und zuerst beginnen wir mit

dem Satz von Rolle, das ist für sich genommen noch keine Aussage die wahnsinnig spannend

ist, sondern die wir brauchen werden. Und die Aussage ist folgende, wir haben eine

differenzierbare Funktion und das einzige was wir darüber wissen ist, dass f von a gleich

f von b ist. Also der Funktion ist am linken Rand, das ist vielleicht der Funktion am rechten

Rand. Der Ersatz von Rolle besagt, dass es dann mindestens einen Xi gibt, zum Beispiel

dieses hier, dieses Xi hier, hier ist die Achse, hier ist Xi, das b, das a, sodass bei Xi die

Ableitung der Funktion gleich 0 ist. Warum ist das richtig? Wir können folgendes, also

wir können über Extremstellen nachdenken. Also erstens, wenn f schon die konstante Funktion

ist, dann ist f' natürlich überall gleich 0. Das heißt, das ist der unspannende Fall.

Wenn die Funktion selber nicht die konstante Funktion ist, dann ist f zumindest stetig

auf dem ganzen Intervall. Das heißt, das Maximum und das Minimum, die werden angenommen, weil

das Intervall a, b kompakt ist und b ist echt größer als a, weil sonst wäre die Funktion

auf einen Punkt definiert und dort wäre sie wie am konstanten. Weil also f von a gleich

f von b ist, könnte nicht das Maximum und das Minimum am Rand angenommen werden, es gibt

also noch mindestens eine Extremstelle Xi im Inneren des Intervalls, also auf a, b, ohne

die Grenzen. Entweder ein Maximum oder ein Minimum, das ist auch völlig egal, was es

ist, aber auf jeden Fall ist es eine Extremstelle im Inneren des Intervalls und die Funktion

ist differenzierbar. Das heißt, es muss dort diese Extremstelle geben und die Ableitung

muss dort gleich 0 sein. Und das ist gerade dieses Xi, was wir jetzt gerade hier gefunden

haben. Mit dem Satz von Rodde kann man den sehr wichtigen Mittensatz beweisen. Und der

Mittensatz besagt folgendes, wir haben wieder eine differenzierbare Funktion, die ist jetzt

nicht so aus wie diese hier, sondern ich mach mal ein bisschen allgemeiner, dann sagen wir

mal, sie sieht vielleicht so aus. Hier ist a, hier ist b und die Funktion ist stetig

auf ganz a, b und differenzierbar im Inneren. Dann gibt es den Mittensatz zufolge ein Xi,

sodass die Ableitung von f in Xi das gleiche ist wie die Steigung der Sekante durch die

Punkte a und b. Also wir können jetzt hier diese Sekante hier durchzeichnen. Dann ist

das hier f von b minus f von a und das durch b minus a. Und die Aussage ist, wir finden

ein Xi, mindestens ein Xi, sodass die Ableitung an diesem Punkt genau gleich dieser Steigung

ist. Das heißt, wir finden einen Punkt, wo die mittlere Steigung der Kurve gleich der

kompletten Steigung der Kurve auf das Bödenkreis unterband ist. Und hier finden wir sogar mehrere,

im Fall drei. Hier können wir das so anlegen, hier können wir das so anlegen und hier können

wir das so anlegen. Das heißt, wir haben jetzt hier sogar drei Kandidaten für so ein Xi.

Hier ist so eins, hier ist so eins und hier ist auch so eins. Der Mittensatz sagt uns

nur, es gibt mindestens eins. Darum ist das richtig, der Mittensatz folgt aus dem Satz

von Rolle. Das geht so, wir definieren eine neue Funktion, groß f von x. Das passiert

so, also diese Funktion, die wir gerade hatten, diese hier, die wird jetzt runtergeschert,

sodass sie so aussieht, dass wir anfangs den Endpunkt den gleichen Wert annehmen. Also

wir ziehen genau hier diese Schräge hier einmal ab, also minus diese Schräge, dann

haben wir diese Funktion hier, also f von x minus die affinitäre Funktion, die hier

durchgezogen wird. Und dann gilt tatsächlich, groß f von a ist klein f von a und das ist

das gleiche wie groß f von b. Das kann man hier einbetzen, dann sieht man das. Das heißt,

nach dem Satz von Rolle angemacht auf die Funktion groß f gibt es ein Xi im Inneren von a, b,

sodass f Strich, also groß f Strich von Xi gleich Null ist und groß f Strich von Xi

ist aber klein f Strich von Xi minus f von b minus f von a durch b minus a. Das heißt,

diesem Xi ist f Strich von Xi gleich diesem Bruch hier. Das ist genau das, was wir hier

zeigen wollten. Und wofür brauchen wir das? Für diesen Satz hier, sei f eine stetige Funktion,

die auch differenzierbar auf dem offenen Intervall ab ist. Und wenn jetzt f Strich größer

gleich Null ist auf dem ganzen Intervall ab, auf dem offenen Intervall ab oder größer

Null oder kleinerer Null oder kleiner Null, das sind diese ganzen anderen Fälle, dann